Question

如圖所示，直線l₁和l₂相交于點M，l₁⊥l₂，點N∈l₁，以A、B為端點的曲線段C上任一點到l₂的距離與到點N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|＝，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立適當的坐標系，求曲線段C的方程．

Answer 1

y²＝8x(1≤x≤4，y>0)

以直線l₁為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，由條件可知，曲線段C是以點N為焦點，以l₂為準線的拋物線的一段．其中A、B分別為曲線段C的端點．
設曲線段C的方程為y²＝2px(p＞0)(x_A≤x≤x_B，y＞0)，其中x_A、x_B為A、B的橫坐標，p＝|MN|，∴M、N.由|AM|＝，|AN|＝3，得＋2px_A＝17，①
＋2px_A＝9.②
聯立①②，解得x_A＝，代入①式，并由p＞0，解得或∵△AMN為銳角三角形，∴＞x_A.∴由點B在曲線段C上，得x_B＝|BN|－＝4.
綜上，曲線C的方程為y²＝8x(1≤x≤4，y>0)．