Question

已知橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F₁，F₂，離心率為

2

2

，兩焦點與上下頂點形成的菱形面積為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點F₂的直線l與橢圓交于A，B兩點，四邊形F₁ACB為平行四邊形，O為坐標原點，且|OC|=

53

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：a=

2

c，并且bc=1，所以a=

2

，b=1，進而求出橢圓的方程．
（2）當直線l的斜率不存在時，求出點A與B的坐標，結合題意可得所以C（3，0），所以|OC|=3≠

53

3

，進而得到直線l的斜率存在；設直線l的方程為：y=k（x-1），代入橢圓方程：
（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，x1+x2=

4k2

1+2k2

，由題意得C（x₁+x₂+1，y₁+y₂）．因為|OC|=

53

3

所以(x1+x2+1)2+(y1+y2)2=

53

9

，所以結合韋達定理可求出k²=1，即k=±1，進而得到直線方程．

解答：解：（1）因為離心率為

2

2

，
所以a=

2

c．
又因為兩焦點與上下頂點形成的菱形面積為2，
所以bc=1．
因為a²=b²+c²，
所以a=

2

，b=1．
所以橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1
（2）當直線l的斜率不存在時，即直線l的方程為：x=1，
所以A（1，

2

2

），B（1，-

2

2

）．
因為四邊形F₁ACB為平行四邊形，
所以C（3，0），所以|OC|=3≠

53

3

，
所以直線l的斜率不存在不符合題意，即直線l的斜率存在；
設直線l的方程為：y=k（x-1），代入橢圓方程：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
由題意可得：△＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4k2

1+2k2

，
因為四邊形F₁ACB為平行四邊形，
所以C（x₁+x₂+1，y₁+y₂）．
因為|OC|=

53

3

所以(x1+x2+1)2+(y1+y2)2=

53

9

，
所以結合韋達定理可求出k²=1，即k=±1，
所以所求直線的方程為：y=±（x-1）．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓有關數值之間的關系，以及橢圓與直線的位置關系并且結合韋達定理解決問題．