Question

解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 已知橢圓(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1，F2，如果該橢圓經過點A(0，)，且△AF1F2的周長為， (1) 求這個橢圓的方程； (2) 設該橢圓與直線相交于不同的兩點M、N，問是否存在實數,使得，為什么？

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：由于橢圓過點A(0，)，則(1分)，而的周長為， 則，由橢圓定義知，， 故(3分)，而，聯立解得(5分)， 因此，橢圓方程為(6分) 說明：本題還有其它方法，如可設M()，()，MN的中點為P()， 則，，兩式相減得, ∵,,,故①,設，則AP⊥MN，，②，聯立①、②得，，而點P在直線MN上，，即，此時直線方程為，代入橢圓方程無實數解,則直線與橢圓C無交點，因此，不存在實數，使得．當然也可以根據點P(,)不在橢圓C內而知直線與橢圓C無交點．
(2)	解：假設存在實數m滿足題設，由得 由于直線與橢圓有兩個交點，即①(8分) 設MN的中點為P(xP，yP)，xM、xN分別為點M、N的橫坐標，則從而，(10分) 又，則，而，∴(12分) 即，此與①相矛盾(13分)，因此，不存在這樣的實數，使得(14分) 　　說明：對沒有檢驗者得出,至少要扣3分