Question

【題目】已知拋物線：（）的焦點為，為上一動點，點，以線段為直徑作.當過時，的面積為3.

（1）求的方程；

（2）是否存在垂直于軸的直線，使得被所截得的弦長為定值？若存在，求的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；直線：

【解析】

（1），設，所以，，故不妨設，根據面積計算得到，得到答案.

（2）設直線：，被圓所截得的弦長為，，故，代入化簡得到，得到答案.

（1）由題意得，，

依題意，當圓過時，因為為直徑，所以，即軸.

設，所以，又，解得，故不妨設，

因為，又，得，

由題意得，，即，解得或（舍去）.·

故：.

（2）設直線：，被圓所截得的弦長為.

因為，所以點到：的距離為，

又圓的半徑，根據垂徑定理有，

得，化簡得，

把代入上式得，，其中，

故當且僅當時，無論取何值，恒有.

所以存在直線：被圓所截得的弦長恒為.