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已知

（Ⅰ）求函數上的最小值；

（Ⅱ）對一切恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）證明：對一切，都有成立.

解：（Ⅰ）

當單調遞減，當單調遞增

 所以函數上單調遞增，

（Ⅱ），則，

設，則，

① 單調遞減， 

② 單調遞增，

所以，對一切恒成立，所以；

（Ⅲ）問題等價于證明，

由（Ⅰ）可知的最小值是，當且僅當時取到，

設，則，易知

，當且僅當時取到，

從而對一切，都有   成立  

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•自貢一模）已知a∈R，求函數f（x）=（2-3a）x2-2x+a在區間[0，1]上的最小值．

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科目：高中數學 來源：2013屆江西省高二下學期期中考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知

（1）求函數在上的最小值

（2）對一切的恒成立，求實數a的取值范圍

（3）證明對一切，都有成立

【解析】第一問中利用

當時，在單調遞減，在單調遞增，當，即時，，

第二問中，，則設，

則，單調遞增，，，單調遞減，，因為對一切，恒成立， 

第三問中問題等價于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當且僅當x=時取得

設，，則，易得。當且僅當x=1時取得.從而對一切，都有成立

解：（1）當時，在單調遞減，在單調遞增，當，即時，，

                 …………4分

（2），則設，

則，單調遞增，，，單調遞減，，因為對一切，恒成立，                                             …………9分

（3）問題等價于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當且僅當x=時取得

設，，則，易得。當且僅當x=1時取得.從而對一切，都有成立

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年山東省濰坊三縣高三階段性教學質量檢測數學理卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知

（1）求函數上的最小值；

（2）對一切恒成立，求實數的取值范圍；

（3）證明：對一切，都有成立.

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本小題滿分14分）

已知

（1）求函數上的最小值；

（2）對一切恒成立，求實數的取值范圍；

（3）證明：對一切，都有成立.

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

 (理) 已知

  （1）求函數上的最小值；

  （2）對一切恒成立，求實數的取值范圍；

  （3）證明：對一切，都有成立.

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