Question

設函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）滿足：x∈R都有f（x）+f（﹣x）=0，且x=1時，f（x）取極小值．
（1）f（x）的解析式；
（2）當x∈[﹣1，1]時，證明：函數圖象上任意兩點處的切線不可能互相垂直：
（3）設F（x）=|xf（x）|，證明：時，．

Answer 1

解：（1）因為，x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，
所以：b=d=0，
由：f'（1）=0，得3a+c=0，
由：，得
解之得：，c=﹣1
從而，函數解析式為：
（2）由于，f'（x）=x²﹣1，
設：任意兩數x₁，x₂∈[﹣1，1]是函數f（x）圖象上兩點的橫坐標，
則這兩點的切線的斜率分別是：k₁=f'（x₁）=x₁²﹣1，k₂=f'（x₂）=x₂²﹣1
又因為：﹣1≤x₁≤1，﹣1≤x₂≤1，
所以，k₁≤0，k₂≤0，得：k₁k₂≥0知：k₁k₂≠﹣1 故，
當x∈[﹣1，1] 是函數f（x）圖象上任意兩點的切線不可能垂直
（3）當：時，x²∈（0，3）且3﹣x²＞0此時F（x）=|xf（x）|===
當且僅當：x²=3﹣x²，即，取等號，故；