Question

（文）若函數f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上單調遞減，則實數a的取值范圍是________．
（理） 設O為坐標原點，向量，，，點Q在直線OP上運動，則當取得最小值時，點Q的坐標為________．

Answer 1

a≤-3    （）
分析：（文）由函數f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上單調遞減轉化成f′（x）≤0在（-∞，1]上恒成立，利用參數分離法即可求出a的范圍．
（理）可先設Q（x，y，z），由點Q在直線OP上可得Q（λ，λ，2λ），則由向量的數量積的坐標表示可得 =2（3λ²-8λ+5），根據二次函數的性質可求，取得最小值時的λ，進而可求Q
解答：（文）解：∵函數f（x）=-x³+3x²+ax+1在（-∞，1]上單調遞減，
∴f′（x）=-3x²+6x+a≤0在（-∞，1]上恒成立．
即 a≤3x²-6x在（-∞，1]上恒成立．
∵t=3x²-6x在（-∞，1]上的最小值為-3，
∴a≤-3
∴故答案為：a≤-3．
（理）解：設Q（x，y，z）
由點Q在直線OP上可得存在實數λ使得 ，則有Q（λ，λ，2λ）
，
當 =（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ²-8λ+5）
根據二次函數的性質可得當 時，取得最小值 此時Q
故答案為：
點評：此題主要考查利用導函數的正負判斷原函數的單調性，屬于基礎題．本題主要考查了平面向量的共線定理的應用，解題的關鍵是由點Q在直線OP上可得存在實數λ使得 ，進而有Q（λ，λ，2λ），然后轉化為關于λ的二次函數，根據二次函數知識求解最值，體現了轉化思想在解題中的應用．