Question

在自然數集N上定義一個函數y=f（x），已知f（1）+f（2）=5．當x為奇數時，f（x+1）-f（x）=1，當x為偶數時f（x+1）-f（x）=3．
（1）求證：f（1），f（3），f（5），…，f（2n-1）（n∈N₊）成等差數列．
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用條件建立方程組關系，利用f（1），f（3），f（5）的規律，結合等差數列的定義判斷f（2n+1）-f（2n-1）是個常數即可．
（2）利用當x為奇數時，f（x+1）-f（x）=1，當x為偶數時f（x+1）-f（x）=3去，求出函數f（x）的解析式．

解答：解：（1）由

f(1)+f(2)=5 f(2)-f(1)=1

，解得f（1）=2，f（2）=3．
所以f（2n+1）-f（2n-1）=[f（2n+1）-f（2n）]+[f（2n）-f（2n-1）]=3+1=4，
所以f（1），f（3），f（5），…，f（2n-1）（n∈N₊）成等差數列，公差為4．
（2）當x為奇數時，f（x）=[f（x）-f（x-1）]+[f（x-1）-f（x-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=

(x-1)•4

2

+2=2x，
當x為偶數時，f（x）=[f（x）-f（x-1）]+[f（x-1）-f（x-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=

1

2

•1+

x-2

2

•3+2=2x-1
所以f（x）=

2x，x為奇數 2x-1，x為偶數

．

點評：本題主要考查抽象函數的應用，以及等差數列的定義和判斷，綜合性較強．