Question

【題目】已知兩個定點，動點滿足.設動點的軌跡為曲線，直線.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）若與曲線交于不同的兩點，且（為坐標原點），求直線的斜率；

（3）若是直線上的動點，過作曲線的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）線過定點

【解析】試題分析：（1）設點坐標為，由，得：

整理即可得軌跡方程；（2）依題意圓心到直線的距離即可解得直線的斜率；（3）由題意可知： 四點共圓且在以為直徑的圓上，設，其方程為，即： ，又在曲線上， ，即，由可解得定點坐標.

試題解析：

（1）設點坐標為

由，得：

整理得：曲線的軌跡方程為

（2）依題意圓心到直線的距離，

.

（3）由題意可知： 四點共圓且在以為直徑的圓上，設，

其方程為，即：

又在曲線上，

，

即，由得，

直線過定點.