Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n且a₅+a₁₃=34，S₃=9．
（1）求數列{a_n}的通項公式及前n項和公式；
（2）設數列{b_n}的通項公式為bn=

an

an+t

，若b₁，b₂，b₄成等差數列，求出t的值．

Answer 1

分析：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，由a₅+a₁₃=34，S₃=9可得關于數列首項與公差的方程組，解方程求出首項和公差，由此能求出數列{a_n}的通項公式及前n項和公式．
（2）由b₁，b₂，b₄成等差數列，結合等差數列性質及bn=

an

an+t

，構造關于t的方程，解方程可得答案．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
∵a₅+a₁₃=34，S₃=9．
∴a₁+8d=17，2a₁+3d=9，…（2分）
解得：a₁=1，d=2，…．（4分）
故a_n=2n-1，S_n=n²，…（6分）
（2）由（1）得bn=

an

an+t

=

2n-1

2n-1+t

若b₁，b₂，b₄成等差數列
則2b₂=b₁+b₄…8分
即2×

3

3+t

=

1

1+t

+

7

7+t

…10分
解得t=5…12分

點評：本題考查等差數列的性質和應用，考查運算求解能力和論證推理能力，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．