Question

（本小題滿分12分）已知圓以為圓心且經過原點O．
(1) 若直線與圓交于點，若，求圓的方程；
(2) 在(1)的條件下，已知點的坐標為，設分別是直線和圓上的動點，求的最小值及此時點的坐標。

Answer 1

（1）圓方程為 ．(2) ．

試題分析：（I）利用圓的標準方程寫出圓的方程，根據線段的中垂線的性質判斷出C，H，O三點共線，利用兩點連線的斜率公式求出直線OC的斜率，列出關于t的方程，求出t的值．通過圓心到直線的距離與圓半徑的大小的比較，判斷出直線與圓的關系是否相交．
（II）求出點B關于直線x+y+2=0的對稱點，將已知問題轉化為對稱點到圓上的最小值問題，根據圓的幾何條件，圓外的點到圓上的點的最小值等于該點到圓心的距離減去半徑．
解：由題知，圓方程為，
化簡得                          …1分
（1），則原點在的中垂線上，設的中點為，則．三點共線，則直線的斜率或，則圓心或，         …4分
所以圓方程為或，          …5分
由于當圓方程為時，直線到圓心的距離，不滿足直線和圓相交，故舍去．
圓方程為 ．                             …6分
(2)點關于直線的對稱點為，           …7分
則，又到圓上點的最短距離為，
所以的最小值為，                                …10分
直線的方程為，則直線與直線的
交點的坐標為．               …12分
點評：解決該試題的關鍵是求圓的方程一般利用的方法是待定系數法；解決直線與圓的有關的問題常利用圓的一些幾何意義：常需要解圓心距、弦長的一半、圓的半徑構成的直角三角形；圓外的點到圓上的最值常求出點到圓心的距離加上或減去圓的半徑