Question

設函數f（x）=（ax-2）e^x，a∈R，（e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）若x=1是函數f（x）的一個極值點，求a的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若a=1，t₁，t₂∈[0，1]時，證明：f（t₁）-f（t₂）≤e-2．

Answer 1

分析：（I）先求出函數f（x）的導函數，然后根據在極值點處的導數等于0，建立等式關系，求出a即可；
（II）分別討論a與0的大小，根據導函數的符號進行判斷函數f（x）的單調性，使f'（x）＞0成立的是單調增區間，使f'（x）＜0成立的是單調減區間；
（III）a=1，當x∈[0，1]時，f'（x）=（x-1）e^x≤0，則f（x）單調減函數，從而f（t₁）-f（t₂）≤f_max（x）-f_min（x）=f（0）-f（1）=e-2，得到結論．

解答：解：（Ⅰ）由已知f'（x）=（ax+a-2）e^x，f'（1）=0，∴a=1．
（Ⅱ）①當a=0時，f'（x）＜0，∴f（x）在R上是減函數．
②當a＞0時，x＞

2

a

-1時，f'（x）＞0；x＜

2

a

-1時，f'（x）＜0，
∴f（x）的單調增、減區間分別是(

2

a

-1，+∞)，(-∞，

2

a

-1)．
③當a＜0時，x＞

2

a

-1時，f'（x）＜0；x＜

2

a

-1時，f'（x）＞0，
∴f（x）的單調減、增區間分別是(

2

a

-1，+∞)，(-∞，

2

a

-1)．
（Ⅲ）∵a=1，當x∈[0，1]時，f'（x）=（x-1）e^x≤0，
∴f（x）單調減函數，
∴f（t₁）-f（t₂）≤f_max（x）-f_min（x）=f（0）-f（1）=e-2．

點評：本題綜合考查函數的極值以及利用導數研究函數的單調性，同時考查函數的最值的求解，是一道綜合題．