Question

設函數，函數，其中a為常數且a＞0，令函數f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函數f（x）的表達式，并求其定義域；
（2）當時，求函數f（x）的值域；
（3）是否存在自然數a，使得函數f（x）的值域恰為？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數a所構成的集合；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（1），其定義域為[0，a]；（2分）
（2）令，則且x=（t-1）²
∴（5分）
∴
∵在[1，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增，
∴在上遞增，即此時f（x）的值域為（8分）
（3）令，則且x=（t-1）²∴
∵在[1，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增，
∴y=在[1，2]上遞增，上遞減，（10分）
t=2時的最大值為，（11分）
∴a≥1，又1＜t≤2時
∴由f（x）的值域恰為，由，解得：t=1或t=4（12分）
即f（x）的值域恰為時，（13分）
所求a的集合為{1，2，，9}．（14分）
分析：（1）求出函數f（x）的表達式，由g（x），h（x）的定義域求解函數f（x）的定義域．
（2）當時，函數f（x）的定義域即可確定，利用換元和基本不等式求最值即可；
（3）結合（2）利用函數的值域求出關于a的表達式，求出a的范圍即可．
點評：本題考查函數的定義域，函數的值域，考查學生發現問題解決問題的能力，是中檔題．