Question

已知，，且直線與曲線相切．
（1）若對內的一切實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（2）（�。┊�時，求最大的正整數，使得任意個實數（是自然對數的底數）都有成立；
（ⅱ）求證：．

Answer 1

（1）；（2）（�。�13；（ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（1）由直線與曲線相切可以求出中的參數.再由對內的一切實數，不等式恒成立，即在上恒成立，然后構造函數，研究其導函數以確定其單調性，從而得到其最小值1.又，所以實數的取值范圍是；（2）（�。┫韧ㄟ^導函數確定在上是增函數，從而得到在上的最大值.由題意，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值.經計算知時不等式右邊取得最小值，然后代入不等式，解得．因此，的最大值為；（ⅱ）根據（1）的推導時，，從而，再通過令代入化簡即可得證.
試題解析：（1）設點為直線與曲線的切點，則有
．     （*）
，．  （**）
由（*）、（**）兩式，解得，．    1分
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必須恒成立．    2分
設，，
，當時，，則是增函數，
，是增函數，，．
因此，實數的取值范圍是．     4分
（2）（ⅰ）當時，，
，在上是增函數，在上的最大值為．
要對內的任意個實數都有
成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，
當時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．
，解得．因此，的最大值為．  8分
（ⅱ）證明：當時，根據（1）的推導有，時，