已知,
,且直線
與曲線
相切.
(1)若對內的一切實數
,不等式
恒成立,求實數
的取值范圍;
(2)(。┊時,求最大的正整數
,使得任意
個實數
(
是自然對數的底數)都有
成立;
(ⅱ)求證:.
(1);(2)(。13;(ⅱ)詳見解析.
解析試題分析:(1)由直線與曲線
相切可以求出
中的參數
.再由對
內的一切實數
,不等式
恒成立,即
在
上恒成立,然后構造函數
,研究其導函數以確定其單調性,從而得到其最小值1.又
,所以實數
的取值范圍是
;(2)(。┫韧ㄟ^導函數確定
在
上是增函數,從而得到
在
上的最大值.由題意,必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值.經計算知
時不等式右邊取得最小值,然后代入不等式,解得
.因此,
的最大值為
;(ⅱ)根據(1)的推導
時,
,從而
,再通過令
代入化簡即可得證.
試題解析:(1)設點為直線
與曲線
的切點,則有
. (*)
,
. (**)
由(*)、(**)兩式,解得,
. 1分
由整理,得
,
,
要使不等式
恒成立,必須
恒成立. 2分
設,
,
,
當
時,
,則
是增函數,
,
是增函數,
,
.
因此,實數的取值范圍是
. 4分
(2)(ⅰ)當時,
,
,
在
上是增函數,
在
上的最大值為
.
要對內的任意
個實數
都有
成立,必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值,當
時不等式左邊取得最大值,
時不等式右邊取得最小值.
,解得
.因此,
的最大值為
. 8分
(ⅱ)證明:當時,根據(1)的推導有,
時,
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數=
。
(1)當時,求函數
的單調增區間;
(2)求函數在區間
上的最小值;
(3)在(1)的條件下,設=
+
,
求證: (
),參考數據:
。(13分)
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面(如圖所示)上進行開發建設,陰影部分為一公共設施不能建設開發,且要求用欄柵隔開(欄柵要求在直線上),公共設施邊界為曲線的一部分,欄柵與矩形區域的邊界交于點M、N,切曲線于點P,設
.
(I)將(O為坐標原點)的面積S表示成f的函數S(t);
(II)若,S(t)取得最小值,求此時a的值及S(t)的最小值.
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