Question

拋物線y=ax²＋bx在第一象限內與直線x＋y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達到最大值的a、b值，并求S_max．

Answer 1

a=－1，b=3時，S取得最大值，且．

解析:

依題設可知拋物線為凸形，它與x軸的交點的橫坐標分別為x₁=0，x₂=－b/a，所以(1)

又直線x＋y=4與拋物線y=ax²＋bx相切，即它們有唯一的公共點，

由方程組

得ax²＋(b＋1)x－4=0，其判別式必須為0，即(b＋1)²＋16a=0．

于是代入（1）式得：

，；　

令S'(b)=0；在b＞0時得唯一駐點b=3，且當0＜b＜3時，S'(b)＞0；當b＞3時，S'(b)＜0．故在b=3時，S(b)取得極大值，也是最大值，即a=－1，b=3時，S取得最大值，且．