Question

a₁₁，a₁₂，…a₁₈
a₂₁，a₂₂，…a₂₈
…
a₈₁，a₈₂，…a₈₈
64個正數排成8行8列，如上所示：在符合a_ij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i表示該數所在的行數，j表示該數所在的列數．已知每一行中的數依次都成等差數列，而每一列中的數依次都成等比數列（每列公比q都相等）且，a₂₄=1，．
（1）若，求a₁₂和a₁₃的值．
（2）記第n行各項之和為An（1≤n≤8），數列{a_n}、{b_n}、{c_n}滿足，聯mb_n+1=2（a_n+mb_n）（m為非零常數），，且c₁²+c₇²=100，求c₁+c₂+…c₇的取值范圍．
（3）對（2）中的a_n，記，設B_n=d₁•d₂…d_n（n∈N），求數列{B_n}中最大項的項數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，，由a₁₁，a₁₂，a₁₃，a₁₄成等差可求
（2）設第一行公差為d，解出d，q，從而可求a_n1，A_n，進而可求a_n
由mb_n+1=2（a_n+mb_n）可構造可得即，利用等差數列的求和公式及基本不等式可求
（3）由是一個正項遞減數列可得d_n≥1時B_n＞B_n-1，d_n＜1時B_n＜B_n-1，若{B_n}中最大項滿足可求
解答：解：（1）∵，∴
∵a₁₁，a₁₂，a₁₃，a₁₄成等差∴
（2）設第一行公差為d，
解出：，′
∵
∴∴a_n=2ⁿ（1≤n≤8，n∈N）
∵mb_n+1=2（a_n+mb_n）∴
而∴∴{c_n}是等差數列
故
∵（c₁+c₇）²=c₁²+c₇²+2c₁•c₇≤2（c₁²+c₇²）=200
∴
∴
（3）∵是一個正項遞減數列
∴d_n≥1時B_n＞B_n-1，d_n＜1時B_n＜B_n-1
∴{B_n}中最大項滿足⇒
解出：6.643＜n≤7.643
∵n∈N，∴n=7，即{B_n}中最大項的項數為7項．
點評：本題主要考查了等差數列與等比數列的綜合應用，構造特殊的（等差）數列求解通項公式，利用數列的單調性求解數列的最大（�。╉�，是數列知識的綜合應用．