Question

【題目】已知的頂點， 在橢圓上， 在直線上，且．

（）求橢圓的離心率．

（）當邊通過坐標原點時，求的長及的面積．

（）當，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），面積為2；（3）.

【解析】試題分析：（1）由橢圓方程得， ， ，由即可得解；

（2）所直線的方程為與橢圓聯立得， ，原點到直線的距離，從而得面積；

（3）設所在直線的方程為，與橢圓聯立得，設， 兩點坐標分別為， ， ， ， 利用韋達定理代入求最值即可.

試題解析：

（）將橢圓化為標準方程為，

∴， ， ，

∴橢圓的離心率．

（）∵，且邊通過點，∴所直線的方程為．

設， 兩點坐標分別為， ．

由，得．

∴．

又∵邊長的高等于原點到直線的距離，∴，

∴的面積．

（）設所在直線的方程為，

由，得．

∵， 在橢圓上，∴．

設， 兩點坐標分別為， ，則， ，

∴．

又∵的長等于點到直線的距離，即，

∴，

∴當時， 邊最大，且滿足，

此時所在直線的方程為．