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已知直線：．若存在實數使得一條曲線與直線有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于，則稱此曲線為直線的“絕對曲線”．下面給出四條曲線方程：①；②；③；④；則其中直線的“絕對曲線”有          （        ）

A．①④    B．②③    C．②④    D．②③④

 

【答案】

D

【解析】

試題分析：由題意直線表示斜率為且過定點（1,1）的直線.(1)曲線①是由左右兩支射線構成：時，是斜率為2且過點（1,0）的射線；時，是斜率為-2且過點（1,0）的射線.作圖可知：當，直線僅與曲線①右支射線有一個交點；當時，直線與曲線①無交點；當時，直線僅與曲線①左支射線有一個交點.所以直線與曲線①最多只有一個交點，不符題意，故曲線①不是直線的“絕對曲線”.(2)因為定點（1，1）在曲線②上，所以直線與曲線②恒有交點，設曲線②與直線的兩交點為、，易知 ，聯立直線與曲線②方程，化簡得：.

，.,從而可知當且僅當時直線與曲線②僅一個交點.兩邊平方，化簡得：.設，則，，且是連續函數，所以在（0,2）上有零點，即方程在（0,2）上有根，且在（0,2）上曲線②與直線有兩個不同的交點.故存在實數使得曲線②與直線兩個不同交點為端點的線段長度恰好等于，故曲線②是直線的“絕對曲線”.(3)曲線③表示圓心在（1,1）且半徑為1的圓,它與直線兩個交點為端點的線段長度恒為2，為2或-2時滿足題意，故曲線③是直線的“絕對曲線”.(4)因為定點（1，1）在曲線④上，所以直線與曲線④恒有交點，設曲線④與直線的兩交點為、，易知 ，聯立直線與曲線④方程，化簡得：,

,,從而可知當且僅當時直線與曲線④僅一個交點.兩邊平方，化簡得：.,，,且是連續函數，所以在上有零點，即方程在上有根，且在上曲線④與直線有兩個不同的交點.故存在實數使得曲線④與直線兩個交點為端點的線段長度恰好等于，故曲線④是直線的“絕對曲線”.

考點：曲線與直線的方程、函數的零點

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，點A、B分別為雙曲線C實軸的左端點和虛軸的上端點，點F1、F2分別為雙曲線C的左、右焦點，點M、N是雙曲線C的右支上不同兩點，點Q為線段MN的中點．已知在雙曲線C上存在一點P，使得
PA
+
PB
+
PF2
=(
3
-3)
OP
．
（Ⅰ）求雙曲線C的離心率；
（Ⅱ）設a為正常數，若點Q在直線y=2x上，求直線MN在y軸上的截距的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若存在實常數k和b，使得函數f（x）和g（x）對其定義域上的任意實數x分別滿足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為f（x）和g（x）的“隔離直線”．已知h（x）=x2，φ（x）=2elnx（e為自然對數的底數）．
（1）求F（x）=h（x）-φ（x）的極值；
（2）函數h（x）和φ（x）是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若存在實常數k和b，使函數f（x）和g（x）對其定義域上的任意實數x恒有：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為f（x）和g（x）的“隔離直線”．已知h（x）=x2，φ（x）=2elnx，則可推知h（x），φ（x）的“隔離直線”方程為
y=2
e
x-e
y=2
e
x-e
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若存在實常數k和b，使得函數F（x）和G（x）對其公共定義域上的任意實數x都滿足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，則稱此直線y=kx+b為F（x）和G（x）的“隔離直線”．已知函數h（x）=x2，m（x）=2elnx（e為自然對數的底數），φ（x）=x-2，d（x）=-1．
有下列命題：
①f（x）=h（x）-m（x）在x∈(0，
e
)遞減；
②h（x）和d（x）存在唯一的“隔離直線”；
③h（x）和φ（x）存在“隔離直線”y=kx+b，且b的最大值為-
1
4
；
④函數h（x）和m（x）存在唯一的隔離直線y=2
e
x-e．
其中真命題的個數（　�。�

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科目：高中數學 來源：2014屆遼寧省高二下學期階段性測試理科數學試卷 （解析版） 題型：解答題

若存在實常數和，使得函數和對其定義域上的任意實數分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對數的底數)．

（1）求的極值；

（2）函數和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

 

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