Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（其中為參數），以原點為極點，以軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）設點，分別是曲線，上兩動點且，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）6

【解析】

（Ⅰ）根據題意，消參化簡得曲線的普通方程，對的極坐標方程，兩邊同乘，利用及坐標公式化簡可得曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）根據題意，設極坐標，則，分別代入極坐標方程中，求得的值，，根據三角函數有界性，即可求解最值.

（Ⅰ）由條件知消去參數得到曲線的普通方程為.

因可化為，又，，代入得，于是曲線的直角坐標方程為.

（Ⅱ）由條件知曲線，均關于軸對稱，而且外切于原點，

不妨設，則，

因曲線的極坐標方程為，

所以，，

于是，

所以當時，面積的最大值為6.