Question

已知函數f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x，x∈R．求：
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）求函數f（x）在區間[-

π

6

，

π

3

]上的值域．
（3）若函數f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個單位后，得到函數g（x）的圖象關于y軸對稱，求實數m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意化簡可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2，易得最小正周期，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

解不等式可得函數的單調區間；
（2）由x的范圍，結合不等式的性質和三角函數的運算可得；
（3）由題意可得g（x）的解析式為g（x）=2sin（2x+2m+

π

6

）+2，求其對稱軸，可得m的不等式．

解答：解：（1）∵f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x，
∴f（x）=1+

3

sin2x+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+2=2sin（2x+

π

6

）+2，
故函數的最小正周期為T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函數單調遞增區間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
故函數f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2的值域為[1，4]．
（3）∵函數f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個單位后，得到函數g（x）的圖象，
∴g（x）=2sin（2x+2m+

π

6

）+2，其對稱軸滿足2m+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
解得m=

kπ

2

+

π

6

，
∵m＞0，
∴當k=0時，實數m的最小值

π

6

．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數公式，涉及三角函數的單調性和值域的求解，屬中檔題．