Question

某學校高三年級有學生1 000名，經調查研究，其中750名同學經常參加體育鍛煉（稱為A類同學），另外250名同學不經常參加體育鍛煉（稱為B類同學），現用分層抽樣方法（按A類、B類分二層）從該年級的學生中共抽查100名同學， (Ⅰ)求甲、乙兩同學都被抽到的概率，其中甲為A類同學，乙為B類同學； (Ⅱ)測得該年級所抽查的100名同學身高（單位：厘米）頻率分布直方圖如下圖：

(ⅰ)統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值（例如區間[160，170)的中點值為165）作為代表。據此，計算這100名學生身高數據的期望μ及標準差σ（精確到0.1）： (ⅱ)若總體服從正態分布，以樣本估計總體，據此，估計該年級身高在(158.6，181.4)范圍中的學生的人數； (Ⅲ)如果以身高達170cm作為達標的標準，對抽取的100名學生，得到下列聯表：

體育鍛煉與身高達標2×2列聯表

身高達標 身高不達標 總計 積極參加體育鍛煉 40     不積極參加體育鍛煉   15   總計     100 (ⅰ)完成上表； (ⅱ)請問有多大的把握認為體育鍛煉與身高達標有關系？ 參考公式：， 參考數據：

Answer 1

解：(Ⅰ)甲、乙被抽到的概率均為，
且事件“甲同學被抽到”與事件“乙同學被抽到”相互獨立，
故甲、乙兩人都被抽到的概率為。
(Ⅱ)(ⅰ)總體數據的期望約為：
μ=145×0.03+155×0.17+165×0.30+175×0.30+185×0.17+195×0.03=170(cm)，
標準差σ=11.4。
(ⅱ)由于μ=170，σ≈11.4，
當身高x∈(158.6，181.4)時，即x∈（μ-σ，μ+σ），
故身高落在(158.6，181.4)中的概率為0.682 6，
故身高落在(158.6，181.4)中的人數為683人。
(Ⅲ)(ⅰ)

(ⅱ)，
故有75%把握認為體育鍛煉與身高達標有關系。