Question

【題目】某企業采用新工藝，把企業生產中排放的二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處理量最少為噸，最多為噸，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數關系可近似地表示為，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為元.

（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？

Answer 1

【答案】（1）噸；（2）不獲利，補元.

【解析】

（1）求得每噸二氧化碳的平均處理成本為，利用基本不等式求得的最小值，利用等號成立的條件求得的值，由此可得出結論；

（2）令，求得該函數在區間的最大值，進而可得出結論.

（1）由題意可知，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數關系可近似地表示為，

所以，每噸二氧化碳的平均處理成本為，

由基本不等式可得（元），

當且僅當時，即當時，等號成立，

因此，該單位每月處理量為噸時，才能使每噸的平均處理成本最低；

（2）令，

，函數在區間上單調遞減，

當時，函數取得最大值，即.

所以，該單位每月不能獲利，國家至少需要補貼元才能使該單位不虧損.