Question

【題目】已知：如圖，兩同心圓： 和. 為大圓上一動點，連結（為坐標原點）交小圓于點，過點作軸垂線（垂足為），再過點作直線的垂線，垂足為.

（1）當點在大圓上運動時，求垂足的軌跡方程；

（2）過點的直線交垂足的軌跡于兩點，若以為直徑的圓與軸相切，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的方程為： .

【解析】試題分析：（1）設垂足，則，將點P坐標代入圓方程可得點Q的方程。（2）設的方程為， ，則由弦長公式，又由圓與軸相切得，將直線方程代入橢圓方程消元后得，根據以上各式可解得，可求得直線方程。

試題解析：

（1）設垂足，則

因為在上，

所以，

所以

故垂足的軌跡方程為

（2）設直線的方程為，

則有，

又因為圓與軸相切，

所以

即（*）

由消去x整理得，

因為直線與橢圓交于兩點，

所以，解得。

又

將上式代入（*）式中得，

解得。滿足。

故所求的直線的方程為，

即