Question

為了治理“沙塵暴”，西部某地區政府經過多年努力，到1998年底，將當地沙漠綠化了40%.從1999年開始,每年將出現這種現象:原有沙漠面積的12%被綠化,即改造為綠洲(被綠化的部分叫綠洲),同時原有綠洲面積的8%又被侵蝕為沙漠.問至少經過幾年的綠化,才能使該地區的綠洲面積超過50%?(可參考數據lg2=0.3,最后結果精確到整數)?

Answer 1

解析:設該地區總面積為1,1998年底綠化面積為a₁=,

經過n年后綠洲面積為a_n+1?.?

設1998年底沙漠面積為b₁,經過n年后沙漠面積為b_n+1,則a₁+b₁=1,a_n+b_n=1.?

依題意a_n+1由兩部分組成:一部分是原有綠洲a_n減去被侵蝕的部分8%·a_n的剩余面積92%·a_n,另一部分是新綠化的12%·b_n,?

∴a _n+1=92%·a_n+12%(1-a_n)= a_n+,a_n+1-=(a_n-).?

∴{a_n-}是以-為首項, 為公比的等比數列,則a_n+1=-()ⁿ.?

∵a_n+1＞50%,∴- ()ⁿ＞.?

∴()ⁿ＜.n＞=＞3.?

則當n≥4時,不等式()ⁿ＜恒成立.?

所以至少需要4年才能使綠化率超過50%.