Question

（2012•衡陽模擬）已知△ABC的面積為2

3

，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

AB

•

AC

=4．
（1）求角A；
（2）求

b+c

2a

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將已知的面積代入得到一個關系式，記作①，利用平面向量的數量積運算法則化簡

AB

•

AC

=4，得到另一個關系式，記作②，①÷②，利用同角三角函數間的基本關系弦化切，求出tanA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（2）法1：由A的度數，求出B+C的度數，用B表示出C，利用正弦定理化簡所求的式子，將sinA的值代入，并將表示出的C代入，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由B的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質求出正弦函數的最大值，即為所求式子的最大值；
法2：由A的度數得出cosA的值，利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，將cosA的值代入并利用完全平方公式變形，再利用基本不等式化簡，變形后求出所求式子的范圍，即可得到所求式子的最大值．

解答：解：（1）∵△ABC的面積為2

3

，

AB

•

AC

=4，
∴

1

2

bcsinA=2

3

①，bccosA=4②，
①÷②得：tanA=

3

，
又A為三角形的內角，
則A=

π

3

；
（2）法1：∵A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B，
∴根據正弦定理得：

b+c

2a

=

sinB+sinC

2sinA

=

sinB+sinC

3

=

3

3

[sinB+sin（

2π

3

-B）]
=

3

3

（

3

2

cosB+

3

2

sinB）=sin（B+

π

6

），
∵0＜B＜

2π

3

，∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
∴當B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時，sin（B+

π

6

）取得最大值1，
則

b+c

2a

的最大值是1；
法2：∵cosA=

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3（

b+c

2

）²=

1

4

（b+c）²，
整理得：（

b+c

4a

）²≤1，即

b+c

4a

≤1，
則當b=c時，

b+c

4a

最大值是1．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，平面向量的數量積運算法則，三角函數的恒等變形，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．