Question

如圖，在四棱錐中，，，，，點為棱的中點．

（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）詳見試題分析；（2）直線與平面所成角的正弦值為；（3）．

試題分析：（1）可以建立空間直角坐標系，利用向量數量積來證明。也可以利用綜合法：要證，由于是異面直線，可將問題轉化為證明線面垂直。由于點為棱的中點，可以先取中點，連結，從而可證得。由線面垂直的判定定理易證平面，從而，最后證得；（2）向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直線與平面所成角的正弦值．綜合法：在（1）的基礎上，可先證明為直線與平面所成的角，在直角三角形中，利用銳角三角函數即可求得直線與平面所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式來求二面角的余弦值．綜合法：先利用三垂線定理或其逆定理作出二面角的平面角，再利用解三角形的有關知識求其余弦值．
試題解析：（方法一）依題意，以點為原點建立空間直角坐標系（如圖），可得，，，．由為棱的中點，得．

（1）向量，，故． ∴．
（2）向量，．設為平面的法向量，則即不妨令，可得為平面的一個法向量．于是有，∴直線與平面所成角的正弦值為．
（3）向量，，，．由點在棱上，設，，故，由，得，因此，，解得，即．設為平面的法向量，則即不妨令，可得為平面的一個法向量．取平面的法向量，則．易知，二面角是銳角，∴其余弦值為．
（方法二）（1）如圖，取中點，連結，．由于分別為的中點，故，且，又由已知，可得且，故四邊形為平行四邊形，∴．

∵，故，而，從而，∵平面，于是，又，∴．
（2）連結，由（1）有，得，而，故．又∵，為的中點，故，可得，∴，故．∴直線在平面內的射影為直線，而，可得為銳角，故為直線與平面所成的角．依題意，有，而為中點，可得，進而．故在直角三角形中，，因此，∴直線與平面所成角的正弦值為．

（3）如圖，在中，過點作交于點．∵，故，從而．又，得，因此．在底面內，
可得，從而．在平面內，作交于點，于是．由于，故，∴四點共面．由， ，得，故，∴為二面角的平面角．在中，，，，由余弦定理可得，．∴二面角的斜率值為．