Question

已知直線l被直線l₁：2x+y+1=0與l₂：x-2y-3=0截得的線段中點恰好為坐標原點．
（1）求直線l的方程；
（2）若拋物線y=ax²-1（a≠0）上總不存在關于l對稱的兩點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設l₁與l的交點P（a，-2a-1），l₂與l的交點Q（2b+3，b），兩者聯立，可得Q的坐標，又由其過原點，結合兩點式可得l的方程．
（2）假設存在，先求存在時的a的值，求法為：設拋物線上存在兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）關于直線l：x+y=0對稱，設l_MN：y=x+t線段MN的中點為A（x，y），聯立直線題意拋物線的方程，可得A的坐標，分析可得，當時，拋物線上存在兩點關于直線l：x+y=0對稱，反之可得答案．
解答：解：（1）設l₁與l的交點P（a，-2a-1），l₂與l的交點Q（2b+3，b）
則
∴b=-1，則Q（1，-1），
故l的方程為：x+y=0（6分）
（2）設拋物線上存在兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）關于直線l：x+y=0對稱
設l_MN：y=x+t線段MN的中點位A（x，y）
由得ax²-x-t-1=0（8分）
△=1+4a（t+1）＞0①
且∴∴（10分）
中點在直線x+y=0上∴即代入①得：
即當時，拋物線上存在兩點關于直線l：x+y=0對稱，
故拋物線上不存在兩點關于直線l：x+y=0對稱時，（14分）
點評：本題有一定難度，尤其在解（2）時，注意從反面下手，得到結論后，再回歸題目本意，從而得到答案．