Question

已知：F₁和F₂為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三個頂點，
（1）求：雙曲線的離心率；
（2）若雙曲線經過點Q（4，6），求：雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）利用F₁，F₂，P（0，2b）構成正三角形，可得幾何量之間的關系，即可求雙曲線的離心率；
（2）利用離心率化簡雙曲線的方程，代入點的坐標，即可求得雙曲線的方程．

解答：解：（1）∵F₁，F₂，P（0，2b）構成正三角形，∴2b=

3

c，
即有3c²=4（c²-a²），則e=

c

a

=2；
（2）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率e=

c

a

=2，∴c²=4a²，
∵c²=a²+b，∴b²=3a²，∴雙曲線方程變為

x2

a2

-

y2

3a2

=1，
∵雙曲線經過點Q（4，6），∴

16

a2

-

36

3a2

=1，
∴a²=4，則雙曲線方程為

x2

4

-

y2

12

=1．

點評：本題考查雙曲線的標準方程與幾何性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題．