Question

設函數 
（Ⅰ）證明對每一個，存在唯一的，滿足；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的構成數列，判斷數列的單調性并證明；
（Ⅲ）對任意，滿足（Ⅰ），試比較與的大小.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）數列單調遞減，證明詳見解析；（Ⅲ） ．

試題分析：（Ⅰ）證明對每一個，存在唯一的，滿足，只需證明兩點，第一證在上為單調函數，第二證，在區間的端點的函數值異號，本題是高次函數，可用導數法判斷單調性，而判斷的符號是，可用放縮法；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的構成數列，判斷數列的單調性，由（Ⅰ）知在上遞增，只需比較的大小，由（Ⅰ）知，故，而，從而得到，而，所以，這樣就可判斷數列的單調性；（Ⅲ）對任意，滿足（Ⅰ），試比較與的大小，由（Ⅱ）知數列單調遞減，故，即比較與的大小，由（Ⅰ）知，寫出與的式子，兩式作差即可．本題函數與數列結合出題，體現學科知識交匯點的靈活運用，的確是一個好題，起到把關題的作用．
試題解析：（Ⅰ） ，顯然,當時,,故在上遞增，又，，故存在唯一的，滿足 ；
（Ⅱ）因為，所以，，由（Ⅰ）知在上遞增，故，即數列單調遞減；
（Ⅲ） 由（Ⅱ）數列單調遞減，故，而， ，兩式相減：并結合，以及，　，所以有 ．