Question

（本小題滿分12分）

設函數．

（1）求函數的單調遞增區間；

（2）若關于的方程在區間內恰有兩個相異的實根，求實數的取值范圍．  

 

Answer 1

【答案】

（1）函數的單調遞增區間為．（2）．

【解析】本題考查導數的工具作用，考查學生利用導數研究函數的單調性的知識．考查學生對方程、函數、不等式的綜合問題的轉化與化歸思想，將方程的根的問題轉化為函數的圖象交點問題，屬于綜合題型．

（1）確定出函數的定義域是解決本題的關鍵，利用導數作為工具，求出該函數的單調遞增區間即為f'（x）＞0的x的取值區間；

（2）方法一：利用函數思想進行方程根的判定問題是解決本題的關鍵．構造函數，研究構造函數的性質尤其是單調性，列出該方程有兩個相異的實根的不等式組，求出實數a的取值范圍．

方法二：先分離變量再構造函數，利用函數的導數為工具研究構造函數的單調性，根據題意列出關于實數a的不等式組進行求解

解：（1）函數的定義域為，………………………………………………1分

∵，     ………………………………………2分

∵，則使的的取值范圍為，

故函數的單調遞增區間為．       ……………………………………………4分

（2）方法1：∵，

∴．      …………………………6分

令，              

∵，且，

由．

∴在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，     ……………………8分

故在區間內恰有兩個相異實根      ……10分

即解得：．

綜上所述，的取值范圍是．      ………………………………12分

方法2：∵，

∴．      …………………………6分

即，

令， ∵，且，

由．

∴在區間內單調遞增，在區間內單調遞減．……………………8分

∵，，，

又，

故在區間內恰有兩個相異實根．

                                        ……………………………………10分

即．

綜上所述，的取值范圍是．  ……………………………12分