Question

已知數列{a_n}中a₁=1，數列{b_n}中b₁=0當n≥2時，an=

2an-1+bn-1

3

，bn=

an-1+2bn-1

3

，求a_n與b_n．

Answer 1

分析：分析已知條件，考慮將an=

2an-1+bn-1

3

，bn=

an-1+2bn-1

3

相加減，構造新的數列求解．

解答：解：當n≥2時，an=

2an-1+bn-1

3

①，bn=

an-1+2bn-1

3

②，
①-②得a_n-b_n=

1

3

（a_n-1-b_n-1），所以數列{a_n-b_n}是首項為a₁-b₁=1，公比為

1

3

的等比數列，
所a_n-b_n=(

1

3

)n-1③
①+②得a_n+b_n=a_n-1+b_n-1=1④
③④聯立解得a_n=

1

2

[1+(

1

3

)n-1]，b_n=

1

2

[1-(

1

3

)n-1]

點評：本題是數列通項公式求解，根據題目特點，構造了兩個特殊數列{a_n-b_n}，數列{a_n+b_n}，分別求出了通項公式，再利用方程思想進行求解，體現了構造/轉化的思想方法．