Question

若（1-2x）⁵展開式中所有項的系數之和為m，（1+x³）（1-2x）⁶展開式中x⁵的系數為n，則m•n=    ．

Answer 1

【答案】分析：通過賦值，求出m的值，然后根據題意，先求出（1-2x）⁶展開式的通項，分析可得（1+x³）（1-2x）⁶展開式中出現x⁵的項有兩種情況，①，（1+x³）中出1，而（1-2x）⁶展開式中出x⁵項，②，（1+x³）中出x³項，而（1-2x）⁶展開式中出x²項，分別求出其系數，進而將求得的系數相加可得n，然后求解m•n的值．
解答：解：由題意x=1可得（1-2x）⁵展開式中所有項的系數之和為m=-1；
根據題意，（1-2x）⁶展開式的通項為T_r+1=C₆^r•（-2x）^r=（-1）^rC₆^r•2^rx^r，
則（1+x³）（1-2x）⁶展開式中出現x⁵的項有兩種情況，
①，（1+x³）中出1，而（1-2x）⁶展開式中出x⁵項，其系數為1×（-1）⁵C₆⁵2⁵=-192，
②，（1+x³）中出x³項，而（1-2x）⁶展開式中出x²項，其系數為1×（-1）²C₆²2²=60，
則（1+x³）（1-2x）⁶展開式中x⁵的系數為：n=-192+60=-132；
所以m•n=132
故答案為：132．
點評：本題考查二項式定理的應用，解題的關鍵是由多項式的乘法分析其展開式中x⁵項出現的情況．