Question

(本小題滿分12分)已知各項均為正數的數列{}的前n項和滿足，且

（1）求{}的通項公式；(5分)
（2）設數列{}滿足，并記為{}的前n項和，
求證：.   (7分)

Answer 1

（I）解：由，解得或，由假設，因此，
又由，
得，
即或，因，故不成立，舍去．
因此，從而是公差為，首項為的等差數列，
故的通項為．
（II）證法一：由可解得；
從而．
因此．
令，則．
因，故．
特別地，從而．
即．
證法二：同證法一求得及，
由二項式定理知，當時，不等式成立．
由此不等式有
．
證法三：同證法一求得及．
令，．
因．因此．
從而
．
證法四：同證法一求得及．
下面用數學歸納法證明：．
當時，，，
因此，結論成立．
假設結論當時成立，即．
則當時，



因．故．
從而．這就是說，當時結論也成立．
綜上對任何成立．

（I）解：由，解得或，由假設，因此，
又由，
得，
即或，因，故不成立，舍去．
因此，從而是公差為，首項為的等差數列，
故的通項為．
（II）證法一：由可解得；
從而．
因此．
令，則．
因，故．
特別地，從而．
即．
證法二：同證法一求得及，
由二項式定理知，當時，不等式成立．
由此不等式有
．
證法三：同證法一求得及．
令，．
因．因此．
從而
．
證法四：同證法一求得及．
下面用數學歸納法證明：．
當時，，，
因此，結論成立．
假設結論當時成立，即．
則當時，



因．故．
從而．這就是說，當時結論也成立．
綜上對任何成立．