Question

已知函數
（1）求證：函數f（x）在點（e，f（e））處的切線橫過定點，并求出定點的坐標；
（2）若f（x）＜f₂（x）在區間（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）當時，求證：在區間（1，+∞）上，滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函數g（x）有無窮多個．

Answer 1

解：（1）因為，所以f（x）在點（e，f（e））處的切線的斜率為，所以f（x）在點（e，f（e））處的切線方程為，
整理得，所以切線恒過定點．
（2）令＜0，對x∈（1，+∞）恒成立，
因為（*）
令p'（x）=0，得極值點x₁=1，，
①當時，有x₂＞x₁=1，即時，在（x₂，+∞）上有p'（x）＞0，
此時p（x）在區間（x₂，+∞）上是增函數，
并且在該區間上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合題意；
②當a≥1時，有x₂＜x₁=1，
同理可知，p（x）在區間（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合題意；
③當時，有2a﹣1≤0，
此時在區間（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，從而p（x）在區間（1，+?）上是減函數；
要使p（x）＜0在此區間上恒成立，只須滿足，
所以．
綜上可知a的范圍是．
（3）當時，
記．
因為，所以y=f₂（x）﹣f₁（x）在（1，+∞）上為增函數，
所以，
設，
則f₁（x）＜R（x）＜f₂（x），
所以在區間（1，+∞）上，滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函數g（x）有無窮多個．