Question

【題目】等差數列{an}中，Sn為其前n項和，已知a2=2，S5=15，數列{bn}，b1=1，對任意n∈N+滿足bn+1=2bn+1．
（1）數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）設cn= ，設數列{cn}的前n項和Tn ， 證明：Tn＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等差數列{an}的公差為d，由a2=2，S5=15，得 ，解得a1=d=1，

∴an=1+（n﹣1）=n．

∵對任意n∈N+滿足bn+1=2bn+1．∴bn+1+1=2（bn+1），

∴數列{bn+1}為等比數列，公比為2．

∴ ，∴ ．

（2）證明：cn= = ，

則數列{cn}的前n項和 ，

∴ ，

兩式相減得， = +…+ ﹣ = ﹣ ，

∴

【解析】（1）設等差數列{an}的公差為d，由a2=2，S5=15，得 ，解得a1 ， d即可得出an ． 對任意n∈N+滿足bn+1=2bn+1．變形為bn+1+1=2（bn+1），利用等比數列的通項公式即可得出bn ． （2）cn= = ，利用“錯位相減法”、等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和和數列的通項公式，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．