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【題目】已知函數，是常數且.

（1）若曲線在處的切線經過點，求的值；

（2）若（是自然對數的底數），試證明：①函數有兩個零點，②函數的兩個零點滿足.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，根據切線的斜率求出a的值即可；（2）對函數f(x)求導，根據函數單調性得到函數的最大值且最大值大于0，可知函數有兩個零點，根據零點存在性定理可知兩個零點，因為，即，所以問題轉化為只要證明x1＞ -x2即可．

（1）切線的斜率

，

解，得

（2）①解，得

當時，；當時，，

所以在處取得最大值

，因為，所以，在區間有零點，

因為在區間單調遞增，所以在區間有唯一零點.

由冪函數與對數函數單調性比較及的單調性知，在區間有唯一零點，從而函數有兩個零點.

②不妨設，作函數，，

則，

所以，即，

又，所以

因為，所以，因為在區間單調遞減，

所以，

又，，所以

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】南京市自年成功創建“國家衛生城市”以來，已經連續三次通過“國家衛生城市”復審，年下半年，南京將迎來第四次復審.為了了解市民綠色出行的意識，現從某單位隨機抽取名職工，統計了他們一周內路邊停車的時間（單位：），整理得到數據分組及頻率分布直方圖如下：

組號

分組

頻數

（1）從該單位隨機選取一名職工，試估計其在該周內路邊停車的時間少于小時的概率；

（2）求頻率分布直方圖中，的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知平行四邊形的三個頂點的坐標為， ， .

（1）求平行四邊形的頂點的坐標；

（2）在中，求邊上的高所在直線方程；

（3）求四邊形的面積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設直線系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），對于下列四個命題：

A．M中所有直線均經過一個定點

B．存在定點P不在M中的任一條直線上

C．對于任意整數n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上

D．M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等

其中真命題的代號是 （寫出所有真命題的代號）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線上一點到其焦點的距離為.

（1）求與的值；

（2）若斜率為的直線與拋物線交于、兩點，點為拋物線上一點，其橫坐標為1，記直線的斜率為，直線的斜率為，試問：是否為定值？并證明你的結論.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知某運動員毎次投籃命中的概率都為40%，現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算機產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果，經隨機模擬產生了如下20組隨機數：

據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為_________.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，底面為正三角形，側棱垂直于底面，．若是棱上的點，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】長沙某公司對其主推產品在過去5個月的月廣告投入xi（百萬元）和相應的銷售額yi（百萬元）進行了統計，其中i＝1，2，3，4，5，對所得數據進行整理，繪制散點圖并計算出一些統計量如下：

，，，，，

，，其中，i＝1，2，3，4，5．

（Ⅰ）根據散點圖判斷，與哪一個適宜作為月銷售額關于月廣告投入xi的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（Ⅱ）根據（Ⅰ）的判斷結果及題中所給數據，建立y關于x的回歸方程，并據此估計月廣告投入220萬元時的月銷售額．

附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（m，）的圖像關于原點對稱，且.

（1）求函數的解析式；

（2）判定函數在區間的單調性并用單調性定義進行證明；

（3）求函數在區間（）內的最小值.

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