Question

【題目】如圖，在四棱錐 中，底面為矩形，平面，二面角的平面角為，為中點，為中點.

（1）證明：平面；

（2）證明：平面平面；

（3）若，求實數的值，使得直線與平面所成角為．

Answer 1

【答案】（1）詳見證明；（2）詳見證明；（3）.

【解析】

（1）建立空間直角坐標系, 寫出坐標，證明與平面的法向量垂直即可；

（2）求出平面與平面的法向量，證明平面與平面的法向量垂直即可；

（3）根據直線與平面所成角為建立出關于的方程，從而求出的值.

解：（1）因為平面，

所以，

又因為底面為矩形，

所以，

因為，

平面，

所以平面，

所以，

因為，且二面角的平面角為，

所以，

故，設，，

因為底面為矩形，平面，

故，，

以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，

，，

顯然平面的法向量為，

因為，

所以，

因為平面，

所以平面；

（2）由（1）得，，，，

設平面的法向量為，

故有即

令，則，

同理，可得平面的法向量為，

因為，

所以，

所以平面平面；

（3）因為，

所以，即，

故，

因為直線與平面所成角為，

所以，

即，

化簡，解得

因為，

所以.