Question

已知函數F（x）=e^x滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是R上的偶函數和奇函數，若?x∈[1，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，則實數a的取值范圍是（　�。�

A．(-∞，2 2 )

B．(-∞，2 2 ]

C．(0，2 2 ]

D．(2 2 ，+∞)

Answer 1

∵F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是R上的偶函數和奇函數，
∴g（x）+h（x）=e^x，
則g（-x）+h（-x）=e^-x，
即g（x）-h（x）=e^-x，
解得g（x）=

ex+e-x

2

，h（x）=

ex-e-x

2

，
則?x∈[1，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，
等價為

e2x+e-2x

2

-a?

ex-e-x

2

≥0恒成立，
∴a≤

e2x+e-2x

ex-e-x

=

(ex-e-x)2+2

ex-e-x

=(ex-e-x)+

2

ex-e-x

，
設t=e^x-e^-x，則函數t=e^x-e^-x在[1，2]上單調遞增，
∴e-e^-1≤t≤e²-e^-2，
此時 不等式t+

2

t

≥2

t• 2 t

=2

2

，
∴a≤2

2

，
即實數a的取值范圍是a≤2

2

，
故選：B．