Question

已知函數
（I）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）當函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增時，若x₁，x₂∈（0，2），且f（x₁）+f（x₂）=2f（a），試比較與a的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）
（1）當a＜0時，f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）遞減；
（2）當a＞1時，f'（x）＜0解集為，f'（x）＞0解集為，
∴f（x）在遞減，在上遞增；
（3）當0＜a＜1時，f'（x）＜0解集為，f'（x）＞0解集為，
∴f（x）在遞減，在上遞增；
（4）當a=1時，f'（x）＞0解集為（0，1）∪（1，+∞），
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）上遞增，且f（x）在x=1不間斷，所以f（x）在（0，+∞）遞增；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，，
要比較與1的大小，只需比較x₂與2-x₁的大小..…（6分）
因為
設．…（8分）
則
當x₁∈（0，1）時，F'（x₁）＜0，F（x₁）為減函數，
當x₁∈（1，2）時，F'（x₁）＞0，F（x₁）為增函數，
所以F（x₁）≥F（1）=0…（10分）
所以f（x₂）≥f（2-x₁），又因為f（x）為增函數，
所以x₂≥2-x₁，所以，即a…（12分）
分析：（I）求導數可得，分a＜0，a＞1，0＜a＜1，和a=1進行討論，可得f（x）的單調性；
（Ⅱ）問題轉化為只需比較x₂與2-x₁的大小，作差后構造函數，由單調性可得最值，進而可得答案．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，涉及單調性的性質和轉化的思想，屬中檔題．