Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=AD=a，BC=2a，PD⊥底面ABCD．
（1）在PD上是否存在一點F，使得PB∥平面ACF，若存在，求出的值；若不存在，試說明理由；
（2）在（1）的條件下，若PA與CD所成的角為60°，求二面角A-CF-D的余弦值．

Answer 1

解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系：
D（0，0，0），A（0，a，0），B（a，a，0），C（a，-a，0），
設PD=b，則P（0，0，b），假設存在點F使PB∥平面ACF，F（0，0，λb）（0＜λ＜1）
設平面ACF的一個法向量為，，，，
所以，，所以，
（2），，
因為PA與CD所成的角為60°
所以=，
則a=b，
由（1）知平面ACF的一個法向量為
因為∠BAD=90°，AB=AD=a，BC=2a，所以，
所以BC²=CD²+BD²，所以BD⊥BC，
又PD⊥底面ABCD，則BD⊥平面CDF，
所以是平面CDF的一個法向量，
所以，
所以二面角的余弦值為．
分析：（1）由題意建立空間直角坐標系，假設存在點F使PB∥平面ACF，先寫出坐標含有變量，在利用平面法向量的定義建立方程解出即可；
（2）坐標寫出后因為PA與CD所成的角為60°，利用夾角建立坐標設出的變量的方程，然后利用兩平面的法向量的夾角求出所求的二面角的大小．
點評：此題重點考查了利用條件恰當的建立了空間直角坐標系，先設出坐標用未知的變量表示，在利用平面法向量的知識建立方程進行求解，還利用向量求出二面角的大�。�