Question

某科技公司遇到一個技術難題，緊急成立甲、乙兩個攻關小組，按要求各自單獨進行為期一個月的技術攻關，同時決定對攻關期滿就攻克技術難題的小組給予獎勵．已知此技術難題在攻關期滿時被甲小組攻克的概率為

2

3

，被乙小組攻克的概率為

3

4

．
（1）設ξ為攻關期滿時獲獎的攻關小組數，求ξ的分布列及Eξ；
（2）設η為攻關期滿時獲獎的攻關小組數與沒有獲獎的攻關小組數之差的平方，記“函數f（x）=|η-

7

2

|^x在定義域內單調遞減”為事件C，求事件C的概率．

Answer 1

分析：（1）ξ為攻關期滿時獲獎的攻關小組數，則ξ的所有可能取值為0，1，2．根據變量結合的事件和相互獨立事件同時發生的概率，寫出變量的概率，寫出分布列．
（2）根據獲獎攻關小組數的可能取值為0，1，2，得到相對應沒有獲獎的攻關小組的取值為2，1，0，得到η的可能取值為0，4．寫出函數式，根據函數的單調性得到結果．

解答：解：（1）記“甲攻關小組獲獎”為事件A，則P（A）=

2

3

，記“乙攻關小組獲獎”為事件B，則P（B）=

3

4

由題意，ξ的所有可能取值為0，1，2．
P（ξ=0）=（1-

2

3

）（1-

3

4

）=

1

12

P（ξ=1）=（1-

2

3

）×

3

4

+

2

3

×（1-

3

4

）=

5

12

P（ξ=2）=

2

3

×

3

4

=

1

2

∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	1 12	5 12	1 2

∴Eξ=0×

1

12

+1×

5

12

+2×

1

2

=

17

12

（2）∵獲獎攻關小組數的可能取值為0，1，2，相對應沒有獲獎的攻關小組的取值為2，1，0．
∴η的可能取值為0，4．
當η=0時，f（x）=(

7

2

)x在定義域內是增函數．
當η=4時，f（x）=(

1

2

)x在定義域內是減函數．
∴P（C）=P（η=4）=

1

2

+

1

12

=

7

12

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查函數的單調性，考查指數函數的單調性，本題是一個綜合題目．