Question

設是函數的一個極值點。

（Ⅰ）、求與的關系式（用表示），并求的單調區間；

（Ⅱ）、設，。若存在使得成立，求的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x²＋(a－2)x＋b－a ]e^3－x,

由f `(3)=0，得 －[3²＋(a－2)3＋b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，

則 f `(x)＝[x²＋(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²＋(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e^3－x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是極值點，

所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

當a<－4時，x₂>3＝x₁，則

在區間（－∞，3）上，f’(x)<0， f (x)為減函數；

在區間（3，a1）上，f `(x)>0，f (x)為增函數；

在區間（a1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數。

當a>－4時，x₂<3＝x₁，則

在區間（－∞，a1）上，f `(x)<0， f (x)為減函數；

在區間（a1，3）上，f `(x)>0，f (x)為增函數；

在區間（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a>0時，f (x)在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，那么f (x)在區間[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－（2a＋3）e³<0，f (4)＝（2a＋13）e^－1>0，f (3)＝a＋6，

那么f (x)在區間[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e³，a＋6].

又在區間[0，4]上是增函數，

且它在區間[0，4]上的值域是[a²＋，（a²＋）e⁴]，

由于（a²＋）－（a＋6）＝a²－a＋＝（）²≥0，所以只須僅須

（a²＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范圍是（0，）。