Question

（理）已知⊙：和定點，由⊙外一點向⊙引切線，切點為，且滿足．
(1)求實數間滿足的等量關系；
(2)求線段長的最小值；
(3)若以為圓心所作的⊙與⊙有公共點，試求半徑取最小值時的⊙方程．

Answer 1

（1）；（2）；（3）

試題分析：（1）連接OP,OQ，

則，在中，，且 ，結合兩點之間距離公式可得關于的等式；（2）在中，，是含有的二元函數，結合（1）可得關于的一元函數，求其最小值即可；（3）方法一：因為⊙與⊙有公共點，則得圓心距和其半徑的關系即，要求半徑的最小值，只需最小，將用兩點之間距離公式表示出來，求其最小值并求取的最小值時，得⊙的圓心，進而求出圓的標準方程；方法二：由（1）知⊙的圓心的軌跡方程為：，過點作垂直于的垂線，垂足為，當兩圓外切且以為圓心時，半徑最小，此時，兩條直線求交點確定圓心，從而求出圓的 標準方程.
試題解析：（1）連為切點，，由勾股定理有，又由已知，故.即：，化簡得實數a、b間滿足的等量關系為：；（2）由，得，=
，故當時，即線段PQ長的最小值為 ；
（3）方法一：設圓P的半徑為，圓P與圓O有公共點，圓O的半徑為1，即且，而，故當時，此時, ，，得半徑取最小值時圓P的方程為．
方法二：圓與圓有公共點，圓 半徑最小時為與圓外切（取小者）的情形，而這些半徑的最小值為圓心到直線的距離減去1，圓心為過原點與垂直的直線 與的交點， ,又：x－2y = 0,解方程組，得.即,∴所求圓方程為.