Question

（2010•合肥模擬）已知離心率為

2

2

的橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁、F₂，圓C₂：x²+y²=b²與直線l：y=

3

3

(x+4)相切．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）如果直線l繞著它與x軸的交點旋轉，且與橢圓相交于P₁、P₂兩點，設直線P₁F₁與P₂F₁的斜率分別為k₁和k₂，求證：k₁+k₂=0．

Answer 1

分析：（1）由圓心到直線的距離等于半徑，知b=

4

1+3

=2．由 e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=

1

2

，知a²=2b²=8，由此能求出橢圓方程．
（2）設直線為y=k（x+4），它與橢圓相交于P₁、P₂兩點，設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），F₁（-2，0），k1=

y1

x1+2

=

k(x1+4)

x1+2

，k2=

y2

x2+2

=

k(x2+4)

x2+2

，k₁+k₂=

2k

(x1+2)(x2+2)

[ ．聯立

x2

8

+

y2

4

=1與y=k（x+4）得（2k²+1）x²+16k²x+32k²-8=0，由韋達定理能夠證明k₁+k₂=0．

解答：解：（1）∵圓心到直線的距離等于半徑，
∴b=

4

1+3

=2．
∵e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=

1

2

，
∴

b2

a2

=

1

2

，a²=2b²=8，
所以橢圓方程為 

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）當直線l繞著它與x軸的交點旋轉，可設直線為y=k（x+4），
它與橢圓相交于P₁、P₂兩點，
設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），F₁（-2，0），
k1=

y1

x1+2

=

k(x1+4)

x1+2

，
k2=

y2

x2+2

=

k(x2+4)

x2+2

，
k₁+k₂=

k(x1+4)

x1+2

+

k(x2+4)

x2+2

=

k(x2+2)(x1+4)+k(x1+2)(x2+4)

(x1+2)(x2+2)

=

2k

(x1+2)(x2+2)

[ …（1）
聯立

x2

8

+

y2

4

=1與y=k（x+4）得
（2k²+1）x²+16k²x+32k²-8=0，
x1+x2=-

16k2

2k2+1

，x1x2=

32k2-8

2k2+1

，
代入（1）式則有
k₁+k₂=

2k

(x1+2)(x2+2)

(

32k2-8

2k2+1

+3

-16k2

2k2+1

+8)=

2k[32k2-8+3(-16k2)+8(2k2+1)]

(x1+2)(x2+2)(2k2+1)

=0．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的位置關系．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．