Question

已知圓M過兩點C（1，-1）、D（-1，1）且圓心M在直線x+y-2=0上．
（1）求圓M的方程；
（2）設P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA、PB是圓M的兩條切線，A、B為切點，求四邊形PAMB的面積的最小值．

Answer 1

（1）設圓M的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
根據題意得

(1-a)2+(-1-b)2=r2 (-1-a)2+(1-b)2=r2 a+b-2=0

，解得：a=b=1，r=2，
故所求圓M的方程為：（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）由題知，四邊形PAMB的面積為S=S_△PAM+S_△PBM=

1

2

（|AM||PA|+|BM||PB|）．
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，
而|PA|²=|PM|²-|AM|²=|PM|²-4，
即S=2

|PM|2-4

．
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x+4y+8=0上找一點P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|_min=

3+4+8

5

=3，所以四邊形PAMB面積的最小值為2

|PM|2-4

=2

5

．