Question

【題目】校園準備綠化一塊直徑為的半圓形空地，點在半圓圓弧上，△外的地方種草，△的內接正方形為一水池（，在邊上），其余地方種花，若， ，設△的面積為，正方形面積為；

（1）用和表示和；

（2）當固定，變化時，求最小值及此時的角；

Answer 1

【答案】（1），，；（2）最小值為，此時；

【解析】

（1）據題知三角形為直角三角形，根據三角函數分別求出AC和AB，求出三角形ABC的面積；設正方形的邊長為，利用三角函數分別表示出BS和AS，利用列出方程求出，算出；
（2）可設來化簡求出與的比值，利用對勾函數的增減性求出比值的最小值即可求出此時的.

解：（1）在中，，

，，
設正方形的邊長為，則，
由，得，故，
所以，；
（2），
令，因為，
所以，則，
所以，
由對勾函數的單調性得：函數在上遞減，
因此當時有最小值，
此時，，
所以當時，最小，最小值為.