Question

實數x、y滿足=1，試求x-y的最大值與最小值，并指出何時取得最大值與最小值.

Answer 1

思路分析：本題的思考方式也許容易想到由已知方程予以變形代換，但容易看到會出現開方，很不利于求x-y的最大值與最小值.這時，根據已知條件可考慮借助于相應的參數方程來求解，借助于正弦、余弦的有界性從而把問題解決.

解：由已知可設

則x-y=(4cosθ+1)-(3sinθ-2)=(4cosθ-3sinθ)+3=5cos(θ+α)+3，

其中cosα=,sinα=.當cos(θ+α)=1,即θ+α=2kπ,k∈Z時，

cosθ=cos(2kπ-α)=cosα=，sinθ=sin(2kπ-α)=-sinα=.

∴x=4×+1=,y=3×()-2=時，x-y的最大值為8.

同理,當x=,y=時，x-y的最小值為-2.

    誤區警示 本題易錯點主要有兩點:(1)對于橢圓的參數方程不會轉化而直接使用普通方程；(2)在使用參數方程運算時不考慮α的實際取值.