Question

已知f(x)=lg

b-ax2

10x+1

，函數y=f（x）與函數y=g（x）滿足如下對應關系：當點（x，y）在y=f（x）的圖象上時，點(

x

3

，

y

2

)在y=g（x）的圖象上，且f（0）=0，g（-1）=1．
（1）求函數y=g（x）的解析式；
（2）指出函數y=g（x）的單調遞增區間，并用單調性定義證明之．

Answer 1

分析：（1）由題意可得關于ab的方程組，解之可得函數f（x）的解析式，進而可得g（x）的解析式；
（2）可知函數的單調遞增區間為（-

10

3

，0），由復合函數的單調性，只需證明函數m（x）=10-9x²在區間（-

10

3

，0）上單調遞增即可，由單調性的定義可證．

解答：解：（1）由題意可得

f(0)=lg b 10 =0 f(-3)=lg b-9a 10-2 =2

，解得

a=1 b=10

，
故f(x)=lg

b-ax2

10x+1

=lg

10-x2

10x+1

，x∈（-

10

，

10

）
故必有2y=lg

10-9x2

103x+1

，即y=

1

2

lg

10-9x2

103x+1

，
故函數y=g（x）的解析式為：g（x）=

1

2

lg

10-9x2

103x+1

；
（2）由（1）可知，函數y=g（x）的單調遞增區間為（-

10

3

，0），
任取x₁，x₂∈（-

10

3

，0），且x₁＜x₂，
由復合函數的單調性可知，只需證明函數m（x）=10-9x²在區間（-

10

3

，0）上單調遞增，
則有m（x₁）-m（x₂）=（10-9x12）-（10-9x22）
=9（x₂+x₁）（x₂-x₁），
∵x₁，x₂∈（-

10

3

，0），且x₁＜x₂，
∴x₂+x₁＜0，x₂-x₁＞0，∴9（x₂+x₁）（x₂-x₁）＜0，
故m（x₁）＜m（x₂），
故函數y=g（x）的單調遞增區間為（-

10

3

，0），

點評：本題考查函數解析式的求解，涉及函數單調性的判斷與證明，屬基礎題．