Question

（本小題滿分分）選修：幾何證明選講

如圖，直線經過⊙上的點，并且，，⊙交直線于、，連結、．

（Ⅰ）求證：直線是⊙的切線；

（Ⅱ）若,⊙的半徑為，求的長．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OC，∵OA=OB，CA=CB  ∴OC⊥AB

       ∴AB是⊙O的切線    ………………………………4分

   （2）解:∵ED是直徑，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°

       又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，

∴∠BCD=∠E

       又∵∠CBD+∠EBC，∴△BCD∽△BEC

       ∴  ∴BC²=BD•BE

       ∵tan∠CED=,∴

       ∵△BCD∽△BEC, ∴

       設BD=x,則BC=2

       又BC²=BD•BE，∴（2x）²=x•（ x+6）

       解得：x₁=0,x₂=2, ∵BD=x>0, ∴BD=2

       ∴OA=OB=BD+OD=3+2=5   ……………………………………10分