Question

【題目】

對函數Φ（x），定義fk（x）＝Φ（x－mk）＋nk（其中x∈（mk，m＋mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n為常數）為Φ（x）的第k階階梯函數，m叫做階寬，n叫做階高，已知階寬為2，階高為3．

（1）當Φ（x）＝2x時 ①求f0（x）和fk（x）的解析式； ②求證：Φ（x）的各階階梯函數圖象的最高點共線；

（2）若Φ（x）＝x2，則是否存在正整數k，使得不等式fk（x）＜（1－3k）x＋4k2＋3k－1有解？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①

② 見詳解.

（2）①②無公共部分，即不存在正整數k滿足題意．

【解析】

解：（I）①…………2分

…………4分

②時是增函數，

的第k階階梯函數圖象的最高點為

第k+1階階梯函數圖象的最高點為

∴過Pk，Pk+1這兩點的直線斜率為

同是可得過兩點的直線斜率也為

的各階階梯函數圖象的最高點共線．…………8分

（II）當

即

得…………9分

當k=1時，無解； …………10分

當時，由，得

…①…………11分

又由…②

…………13分

∴①②無公共部分，即不存在正整數k滿足題意． …………14分